先日、GREEで「くみかえトーテム」というゲームをやってた時にふと思ったこと。
ちなみに、論理立てて問題を解いたりはしてないです。
■状況
くみかえトーテムでは、集落の御神体的なもの＝トーテムを、任意のパーツ5つを組み合わせることでカスタマイズできる。
パーツは、ターン終了ごとに1つ作成することができ、パーツのレベルを選択すると、そのレベルのいずれかのパーツがランダムに作成される。
■気になったこと
各レベルごとに、何種類のパーツがあるか分からない。何回か試した中で、実際に出現した回数から推測できないもんかなぁと思った。
■問題
何種類あるか分からない対象物を均等な確率で1個入手できる行為をN回繰り返し、結果としてM種類の対象物を入手できたとする。この時、この行為で入手可能な対象物は何種類あると推測すればよいか。
■実験した。
実験は、実際に入手可能な種類を設定してN回対象物を入手するテストを10000回行ない、M種類の対象物が入手できた回数を記録する、という形で行なった。
ぶっちゃけこの手の実験はExcelでVBAも使わずにやってる*1ので、あまり回数をこなせない。10000回ってぶっちゃけ超少ない。でも重くてこれ以上無理。
あと、実際に入手可能な種類を増やすほどM種類入手できる確率が減っていくようになった段階で、M種類入手できる確率が1割を切った時点で実験は止めている。なので、結果の一部は実際より若干低めに出ることになる。
■結果を書く前に
当然ながら、「結果としてM種類の対象物を入手できた」時点で、「この行為で入手可能な対象物」の種類がM種類未満ということはありえない。
また、「行為をN回繰り返し」た結果、N種類の対象物が現れた場合、この問題の条件だけからは絞込みが行なえない。なにせ実際の種類が多ければ多いほど、一度も重複しない確率も増えるわけで。
■結果
〜1: 5回やって1種類入手できた〜
| 実種類数 |
問題との一致率 |
| 1種類 |
100.00% |
| 2種類 |
6.43% |
| 一番確率の高い種類数 |
種類数の期待値推測 |
| 1種類 |
1.06種類 |
〜2: 5回やって2種類入手できた〜
| 実種類数 |
問題との一致率 |
| 2種類 |
93.77% |
| 3種類 |
36.62% |
| 4種類 |
17.97% |
| 5種類 |
9.51% |
| 一番確率の高い種類数 |
種類数の期待値推測 |
| 2種類 |
2.64種類 |
〜3: 5回やって3種類入手できた〜
| 実種類数 |
問題との一致率 |
| 3種類 |
61.63% |
| 4種類 |
58.09% |
| 5種類 |
47.82% |
| 6種類 |
39.07% |
| 7種類 |
31.21% |
| 8種類 |
25.19% |
| 9種類 |
20.28% |
| 10種類 |
18.14% |
| 11種類 |
15.4% |
| 12種類 |
13.29% |
| 13種類 |
11.3% |
| 14種類 |
10.05% |
| 15種類 |
9.3% |
| 一番確率の高い種類数 |
種類数の期待値推測 |
| 3種類 |
6.74種類 |
〜4: 5回やって4種類入手できた〜
| 実種類数 |
問題との一致率 |
| 4種類 |
23.18% |
| 5種類 |
38.66% |
| 6種類 |
46.26% |
| 7種類 |
50.21% |
| 8種類 |
51.15% |
| 9種類 |
51.49% |
| 10種類 |
50.33% |
| 11種類 |
48.67% |
| 12種類 |
48.07% |
| 13種類 |
46.3% |
| 14種類 |
45.21% |
| 15種類 |
42.44% |
| 16種類 |
41.13% |
| 17種類 |
40.02% |
| 18種類 |
39.68% |
| 19種類 |
37.06% |
| 20種類 |
35.84% |
| 21種類 |
35.51% |
| 22種類 |
33.51% |
| 23種類 |
33.05% |
| 24種類 |
32.12% |
| 25種類 |
31.08% |
| 26種類 |
30.69% |
| 27種類 |
29.27% |
| 28種類 |
28.05% |
| 29種類 |
27.59% |
| 30種類 |
27.03% |
| 31種類 |
26.61% |
| 32種類 |
25.66% |
| 33種類 |
25.04% |
| 34種類 |
24.2% |
| 35種類 |
23.9% |
| 36種類 |
23.34% |
| 37種類 |
22.15% |
| 38種類 |
22.08% |
| 39種類 |
21.94% |
| 40種類 |
21.79% |
| 41種類 |
21.09% |
| 42種類 |
20.89% |
| 43種類 |
20.7% |
| 44種類 |
20.42% |
| 45種類 |
19.24% |
| 46種類 |
18.84% |
| 47種類 |
18.54% |
| 48種類 |
18.5% |
| 49種類 |
18.17% |
| 50種類 |
17.57% |
| 51種類 |
17.27% |
| 52種類 |
17.04% |
| 53種類 |
17.03% |
| 54種類 |
16.91% |
| 55種類 |
16.47% |
| 56種類 |
15.46% |
| 57種類 |
15.18% |
| 58種類 |
15.56% |
| 59種類 |
14.71% |
| 60種類 |
15.32% |
| 61種類 |
14.99% |
| 62種類 |
15.05% |
| 63種類 |
14.16% |
| 64種類 |
14.68% |
| 65種類 |
13.21% |
| 66種類 |
13.28% |
| 67種類 |
13.42% |
| 68種類 |
13.43% |
| 69種類 |
12.72% |
| 70種類 |
12.8% |
| 71種類 |
13.19% |
| 72種類 |
12.45% |
| 73種類 |
12.46% |
| 74種類 |
12.59% |
| 75種類 |
12.75% |
| 76種類 |
11.77% |
| 77種類 |
12.02% |
| 78種類 |
11.45% |
| 79種類 |
11.18% |
| 80種類 |
11.55% |
| 81種類 |
11.08% |
| 82種類 |
11.43% |
| 83種類 |
11.5% |
| 84種類 |
10.83% |
| 85種類 |
11.21% |
| 86種類 |
10.71% |
| 87種類 |
10.46% |
| 88種類 |
10.85% |
| 89種類 |
9.77% |
| 一番確率の高い種類数 |
種類数の期待値推測 |
| 9種類 |
34.66種類 |
〜5: 10回やって1種類入手できた〜
| 実種類数 |
問題との一致率 |
| 1種類 |
100% |
| 2種類 |
0.18% |
| 一番確率の高い種類数 |
種類数の期待値推測 |
| 1種類 |
1.00種類 |
〜6: 10回やって2種類入手できた〜
| 実種類数 |
問題との一致率 |
| 2種類 |
99.72% |
| 3種類 |
5.05% |
| 一番確率の高い種類数 |
種類数の期待値推測 |
| 2種類 |
2.05種類 |
〜7: 10回やって3種類入手できた〜
| 実種類数 |
問題との一致率 |
| 3種類 |
94.73% |
| 4種類 |
21.09% |
| 5種類 |
5.79% |
| 一番確率の高い種類数 |
種類数の期待値推測 |
| 3種類 |
3.27種類 |
〜8: 10回やって4種類入手できた〜
| 実種類数 |
問題との一致率 |
| 4種類 |
77.81% |
| 5種類 |
41.73% |
| 6種類 |
20.66% |
| 7種類 |
9.72% |
| 一番確率の高い種類数 |
種類数の期待値推測 |
| 4種類 |
4.75種類 |
〜9: 10回やって5種類入手できた〜
| 実種類数 |
問題との一致率 |
| 5種類 |
51.79% |
| 6種類 |
50.41% |
| 7種類 |
38.55% |
| 8種類 |
27.16% |
| 9種類 |
18.5% |
| 10種類 |
13.54% |
| 11種類 |
9.04% |
| 一番確率の高い種類数 |
種類数の期待値推測 |
| 5種類 |
6.94種類 |
〜10: 10回やって6種類入手できた〜
| 実種類数 |
問題との一致率 |
| 6種類 |
27.78% |
| 7種類 |
40.05% |
| 8種類 |
42.62% |
| 9種類 |
38.9% |
| 10種類 |
33.96% |
| 11種類 |
29.37% |
| 12種類 |
25.17% |
| 13種類 |
20.14% |
| 14種類 |
16.84% |
| 15種類 |
13.4% |
| 16種類 |
12.39% |
| 17種類 |
10.12% |
| 18種類 |
9.05% |
| 一番確率の高い種類数 |
種類数の期待値推測 |
| 8種類 |
10.43種類 |
〜11: 10回やって7種類入手できた〜
| 実種類数 |
問題との一致率 |
| 7種類 |
10.16% |
| 8種類 |
22.02% |
| 9種類 |
30.43% |
| 10種類 |
35.67% |
| 11種類 |
37.77% |
| 12種類 |
37.52% |
| 13種類 |
37.1% |
| 14種類 |
35.25% |
| 15種類 |
33.38% |
| 16種類 |
31.04% |
| 17種類 |
28.84% |
| 18種類 |
25.92% |
| 19種類 |
24.26% |
| 20種類 |
22.45% |
| 21種類 |
20.29% |
| 22種類 |
19.24% |
| 23種類 |
17.36% |
| 24種類 |
16.65% |
| 25種類 |
15.16% |
| 26種類 |
13.79% |
| 27種類 |
12.66% |
| 28種類 |
11.1% |
| 29種類 |
11% |
| 30種類 |
10.11% |
| 31種類 |
9.99% |
| 一番確率の高い種類数 |
種類数の期待値推測 |
| 11種類 |
16.79種類 |
〜12: 10回やって8種類入手できた〜
| 実種類数 |
問題との一致率 |
| 8種類 |
2.81% |
| 9種類 |
7.86% |
| 10種類 |
13.62% |
| 11種類 |
19.06% |
| 12種類 |
24.63% |
| 13種類 |
29.01% |
| 14種類 |
30.76% |
| 15種類 |
33.2% |
| 16種類 |
35.37% |
| 17種類 |
35.37% |
| 18種類 |
36.44% |
| 19種類 |
36.87% |
| 20種類 |
37.01% |
| 21種類 |
37.26% |
| 22種類 |
36.42% |
| 23種類 |
35.95% |
| 24種類 |
34.23% |
| 25種類 |
34.12% |
| 26種類 |
33.69% |
| 27種類 |
33.32% |
| 28種類 |
31.04% |
| 29種類 |
30.69% |
| 30種類 |
30.27% |
| 31種類 |
28.99% |
| 32種類 |
28.62% |
| 33種類 |
28.33% |
| 34種類 |
26.71% |
| 35種類 |
26.05% |
| 36種類 |
24.94% |
| 37種類 |
24.82% |
| 38種類 |
23.83% |
| 39種類 |
23.38% |
| 40種類 |
22.25% |
| 41種類 |
21.44% |
| 42種類 |
20.92% |
| 43種類 |
20.2% |
| 44種類 |
19.58% |
| 45種類 |
19.13% |
| 46種類 |
18.02% |
| 47種類 |
17.97% |
| 48種類 |
17.87% |
| 49種類 |
17.38% |
| 50種類 |
16.32% |
| 51種類 |
15.9% |
| 52種類 |
15.67% |
| 53種類 |
15.54% |
| 54種類 |
14.91% |
| 55種類 |
14.41% |
| 56種類 |
14.3% |
| 57種類 |
13.58% |
| 58種類 |
13.5% |
| 59種類 |
13.37% |
| 60種類 |
12.5% |
| 61種類 |
12.23% |
| 62種類 |
12.18% |
| 63種類 |
11.92% |
| 64種類 |
11.57% |
| 65種類 |
11.29% |
| 66種類 |
10.85% |
| 67種類 |
10.65% |
| 68種類 |
10.35% |
| 69種類 |
10.29% |
| 70種類 |
10.07% |
| 71種類 |
9.87% |
| 一番確率の高い種類数 |
種類数の期待値推測 |
| 21種類 |
34.08種類 |
〜13: 10回やって9種類入手できた〜
（実験用シートの限界を超えたのでテストできず）
■結論
試行回数に対する入手種類数の割合が大きいと期待値が発散気味になるので、充分に試行回数を重ねるのがよさそうだ（ドヤッ
■……で？
どうせ誰かもうこの手の問題に取り組んでるだろうから探しに行くか……。
